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事象のツリーを、ベイズ推定を前提にひっくり返す

ベイズ推定の概念を理解したところで、こんどは実際に計算してみた.例題は、平成20年の上級システムアドミニストレータ試験(PDF)の問48.

本社から工場まで車で行くのに、一般道路では80分かかる。高速道路を利用すると、混雑していなければ50分、混雑していれば100分かかる。交通情報が「順調」ならば高速道路を利用し、「渋滞」ならば一般道路を利用するとき、期待できる平均所要時間は約何分か。ここで、高速道路の混雑具合の確率は、混雑している状態が0.4、混雑していない状態が0.6とし、高速道路の真の状態に対する交通情報の発表の確率は表のとおりとする。

高速道路の真の状態
混雑している 混雑していない
交通情報 渋滞 0.9 0.2
順調 0.1 0.8

ア 62  イ 66  ウ 68  エ 72

まずは「原因→結果」という流れで事象ツリーを描く
※混雑がある、もしくは、ない、という事実に基づいて交通情報が決まる.だから、混雑の状態が原因で、交通情報が結果…という判断で作成

○------混雑あり------「渋滞」
   |                     |---「順調」
   |---混雑なし--------「渋滞」
                         |---「順調」

無条件確率 条件つき確率 結合事象の無条件確率
混雑あり
0.4
P(混雑あり)
渋滞0.9
P(渋滞|混雑あり)
0.4×0.9=0.36
P(渋滞,混雑あり)
順調0.1
P(順調|混雑あり)
0.4×0.1=0.04
P(順調,混雑あり)
混雑なし
0.6
P(混雑なし)
渋滞0.2
P(渋滞|混雑なし)
0.6×0.2=0.12
P(渋滞,混雑なし)
順調0.8
P(順調|混雑なし)
0.6×0.8=0.48
P(順調,混雑なし)
1.0 2.0 1.0
これを「結果→原因」にひっくり返してみる

○---「渋滞」----混雑あり
  |                 |--混雑なし
  |---「順調」----混雑あり
                    |--混雑なし

無条件確率 条件つき確率 結合事象の無条件確率
渋滞
0.36+0.12=0.48
P(渋滞)
混雑あり
0.36/0.48=0.75
P(混雑あり|渋滞)
0.36
P(渋滞,混雑あり)
混雑なし
0.12/0.48=0.25
P(混雑なし|渋滞)
0.12
P(渋滞,混雑なし)
順調
0.04+0.48=0.52
P(順調)
混雑あり
0.04/0.52=0.0769
P(混雑あり|順調)
0.04
P(順調,混雑あり)
混雑なし
0.48/0.52=0.923
P(混雑なし|順調)
0.48
P(順調,混雑あり)
1.0 2.0 1.0

ここまでを、ベイズの定理の式と見比べて、確認しよう


※分子は、結合事象の無条件確率を表現している
※分母は、事前事象の無条件確率を表現している
→事前事象の無条件確率と事後事象の条件付き確率を掛け合わせたのが、結合事象の無条件確率.それを前提に、逆算で、事後事象の条件付き確率を算出している.

以上を用いて、期待できる平均所要時間を算出

交通情報が「渋滞」の場合
一般道路を使うので、80分
交通情報が「順調」の場合
1.実際は混雑している確率は、0.0769
それを踏まえると100分*0.0769=7.69分
2.実際にも混雑していない確率は、0.923
それを踏まえると50分*0.923=46.15分
合計76.9+46.15=53.84分

従って、期待値は、80分×0.48+53.84分×0.52=66.39分(正解はイ)
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気づいたこと
  • 終点の結合事象の確率は変わらない(結果だから)
  • 無条件確率の分岐の合計は1である
  • 条件付き確率の分岐の合計は、条件となっている事前事象の確率の合計1が加算される.条件がひとつならば、プラス1、条件がふたつならば、プラス2、と増えていく.
  • ベイズ推定で「原因」を推定するための条件付き確率を求めるには、「結果」の無条件確率を結合事象の無条件確率で除する(逆算)
  • 事象のツリーが多段の場合には、分解して考えればよし.結合事象の無条件確率を、事象の無条件確率として捉える.
 
AtsuSacaqui * 経営-MBA- * 06:36 * comments(0) * trackbacks(0)
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